모델의 불확실성을 반영한 아파트가격지수 예측 모형 연구 – BMS, BMA를 중심으로 -^*

본 연구에서는 주택가격 예측의 지표로 매월 한국감정원에서 아파트 실거래 가격자료를 기초로 작성, 발표하는 서울, 부산 지역의 아파트 실거래가격지수를 선정하였다. 아파트 실거래가격지수는 2006년 1월을 기준시점(100)으로 지수산정기간 중 거래신고가 2번 이상 있는 동일 아파트의 실거래가격 자료에 한하여 가격변동률을 산출한 값으로서, 아파트의 거래가격수준 및 변동률을 파악하여 정확한 시장동향 정보를 제공한다는 면에서 널리 사용되고 있으나 근본적으로 지수 산정방식에 있어 두 가지 큰 문제점을 안고 있다. 먼저, 동일한 아파트의 실거래가격이 반복적으로 관측되지 않는데서 발생하는 자료 활용의 비효율성 문제가 있다. 동일 조건의 실거래가격이 반복적으로 관측되지 않을 경우, 지수산정에서 해당 자료는 배제되어 결과적으로 가격지수의 안정성에 부정적인 영향을 끼칠 수 있다. 두 번째로는 매 시점마다 완벽하게 동일단지, 동일평형의 가격 자료를 매번 얻을 수 없어 야기되는 표본추출 오류의 문제가 있다. 이로 인해 매 시점 관측되는 아파트의 빈도수 차이에 따른 표본 편의가 발생하고 이는 곧 지수의 신뢰도를 낮추는 요인으로 작용할 수 있다. 이와 관련하여 이창무 외(2008)는 위의 문제들을 해결하고자 매년 아파트 가치를 나타내는 시세가격을 활용하여 기존 반복매매지수 산출방식에서 배제되었던 실거래가격자료를 반영한 아파트 실거래가격지수를 재 산정하였고, 그 결과 자료 활용 측면에서 약 18.6%의 향상이 가능함을 보였다. 그러나 이러한 접근 방법이 자료 활용의 효율성 측면에서 큰 효과를 보였음에도 불구하고, 아파트 실거래가격지수 변동에는 큰 차이를 보이지 못한 것으로 드러났다. 이에 본 연구에서는 별도의 아파트 실거래가격지수 재 산정 없이 한국감정원에서 발표하는 아파트 실거래가격지수를 변형 없이 그대로 사용하였다.

독립변수로는 2007년 1월부터 2014년 12월까지 통계청과 한국은행에서 제공하는 지가변동률, 실업률, 아파트 건설실적, 아파트 거래현황, 소비자 물가지수, 시장금리, 주택담보대출금리, GDP(실질, 명목), 전산업생산지수, CD금리 등 총 11개의 거시경제지표 및 부동산 관련지수를 사용하였다. 위의 독립변수는 크게 공급변수와 수요변수로 구성된다. 먼저, 공급변수에는 아파트 공급 측면에서 아파트 매매 가격에 영향을 주는 변수들로 건설경기의 효과를 반영하고 있는 아파트 건설실적과 아파트 건설에 필요한 토지 가격 변동성을 반영한 지가변동률이 해당된다. 반면, 수요변수로는 아파트 수요 측면에서 아파트 매매 가격에 영향을 주는 변수로서 아파트 거래현황, 실업률, 소비자 물가지수, 시장금리, 주택담보대출금리, GDP(실질, 명목), 전산업생산지수, CD금리를 선정하였다. 전반적으로 소득의 영향이나 시중금리의 움직임을 반영하기 위해 GDP, 소비자물가지수, 전산업생산지수, 실업률, CD금리를 사용하였고, 주택 가격과 은행대출간의 양의 상관관계에 관한 연구 결과를 토대로(박연우 외, 2012) 주택담보대출금리를 추가로 사용하였다. 지역의 차이를 반영하기 위해 위 변수들 중 지가변동률, 실업률, 아파트 거래실적은 지역단위로 구성하였으며, 나머지 변수들은 전국단위 변수로 설정하였다.

각 모델들은 변수들의 조합들을 통해 구성해 본 일종의 개별 수학적 시나리오라고 볼 수 있다. 본 연구에서 사용하는 BMS, BMA 모형은 총 11개의 설명변수로 조합 가능한 $2^n-1$개, 즉 2,047개 모델들의 사후 확률을 계산한 결과를 사용하고 있으며, 이는 기본적으로 2단계 분석을 거쳐 진행되었다. 먼저, 2,047개의 모델에 대해서 1기부터 16기까지에 걸친 데이터를 토대로 $\theta$의 우도 확률 값을 계산하였다(식(1)). 본 연구에서 $\theta$는 주택가격예측모형의 모수, M은 모델, D는 이를 업데이트하는데 사용되는 데이터를 의미한다.

$P\left(D|M\right)={\int }_{}^{}P\left(D|\theta ,M\right)P\left(\theta |M\right)d\theta$

$P\left(M|D\right)=\frac{P\left(D|M\right)P\left(M\right)}{P\left(D\right)}$

그런 다음, 1단계에서 구한 각 모델의 우도 확률 값을 이용해 모델의 사후 확률 $P\left(M|D\right)$을 추정하였다(식(2)). 모델의 사후 확률은 데이터가 주어졌을 때 특정 모델이 참이 될 확률을 의미하며 앞에서 구한 우도 확률 값 $P\left(D|M\right)$과 사전확률 값 $P\left(M\right)$의 곱으로 풀어 쓸 수 있다. 여기서 사전확률 $P\left(M\right)$은 연구자의 주관적인 정보가 반영된 확률로서 연구자가 가진 정보에 따라 각각의 모델에 서로 다른 확률을 부여할 수 있다.

이를 토대로 BMS 방법론은 각 변수들의 모든 조합을 고려한 모델들의 사후 확률인 $P\left(M|D\right)$ 결과 값 중 확률이 가장 높은 모델로 계산을 수행하였으며, BMA는 사후 확률이 큰 다수의 모델들을 선정하여 가중 평균한 값을 도출하는 방식을 사용하였다. 여기서 BMA의 경우, 수십, 수백 개의 모델들 중에서 최적의 모델들을 선정하여 가중 평균을 하기 위해서는 일정한 논리적인 기준이 필요하며, 본 연구에서는 Madigan and Raftery(1994)이 제시한 Occam’s Window를 적용하였다. Occam’s Window는 총 두 단계로 첫 번째 단계에서는 가장 확률이 높은 모델의 확률 값을 기준으로 C 값 이상이 되는 모델들을 선정하였으며, 아래 수식과 같이 해당 조건에 포함되지 않은 사후확률의 모델을 고려대상에서 제외시켰다(식(3)). 상위 확률 분포의 기준값을 의미하는 상수 C는 연구자의 직관에 따라 달라질 수 있지만, Jeffreys(1961)는 10과 100사이의 숫자를 사용하길 권하고 있어 본 연구에서는 기존의 연구에서 대체적으로 많이 쓰이는 세 가지 경우(10, 20, 30)를 설정하여 C값에 대한 민감도를 확인하였다.

$A^{\text{'}}=\{M_k:\frac{{Max}_l\left\{P\left(M_l|D\right)\right\}}{P\left(M_k|D\right)}\le C\}$

Occam’s Window의 두 번째 단계에서는 1단계에서 선정한 모델들 내에서 모델 내 변수가 더 많은 하위 모델들을 제거하였다. 즉, 일차적으로는 높은 확률의 모델을 우선으로 이와 동일한 변수를 포함하고 있는 더 복잡한 모델들을 제거함으로써, 보다 높은 확률을 갖는 단순한 모델들로 최종 상위 모델들을 구성하였다(식(4)).

$B=\{M_k:\exists M_l\in A^{\text{'}},M_l\subset M_k,\frac{P\left(M_l|D\right)}{P\left(M_k|D\right)}〉1\}$

앞서 초기에 도출한 최상의 모델과 Occam’s Window를 통해 도출한 상위 모델들 정보를 이용해 BMS와 BMA 수식을 식(5)와 식(6)과 같이 구성하였다. 아래 식에서 k는 Occam’s Window를 만족하는 모델들이며, 그 중 BMS에서 사용된 $k^{}$는 사후 확률이 가장 큰 최상의 모델을 의미한다.

BMS: $y_t=x_{t-1}^{(k*)\text{'}}{\beta }_{t-1}^{(k*)}$

BMA: $y_t={\displaystyle \sum _{k=1}^{K}P(M_k|D)x_{t-1}^{(k*)\text{'}}{\beta }_{t-1}^{(k*)}}$

2007년 1분기부터 2010년 4분기까지의 데이터로 도출해낸 위의 정보들과 Karman Filter를 이용하여 2011년 1분기부터 매기수마다 정보를 업데이트하여 아파트 실거래가지수를 예측하였다. Kalman Filter는 항법, 제어 분야 등에서 많이 쓰이는 선형적 통계 예측 수단으로 크게 예측과 업데이트 두 단계로 구성되어 있다. 예측 단계에서는 관심의 대상인 상태변수와 상태변수의 공분산을 예측하는데 식(7)과 식(8)과 같이 나타낼 수 있다. 이렇게 t-1기의 자료를 바탕으로 예측한 ${\widehat{x}}_{t|t-1}$, $P_{t|t-1}$값은 t기의 관측 자료들을 반영하여 ${\widehat{x}}_{t|t}$, $P_{t|t}$로 바뀌는 업데이트 단계를 거치게 되며, 이 후 t기는 t+1기가 되어 똑같은 알고리즘을 반복한다.

State estimation: ${\widehat{x}}_{t|t-1}=F_t{\widehat{x}}_{t-1|t-1}+B_t{u}_t$

Covariance estimation: $P_{t|t-1}=F_t{P}_{t-1|t-1}{F_t}^T+Q_t$

예를 들어 서울지역의 2011년도 1분기에 해당하는 아파트 실거래가지수를 예측을 위해 첫 번째 단계에서는 예측 단계로 그 전 분기인 2010년도 4분기의 아파트 실거래가지수 및 거시경제변수를 이용하여 2011년도 1분기에 해당하는 상태변수와 공분산을 예측하였다. 그런 다음, 업데이트 단계로 실제로 관측된 2011년도 1분기의 아파트 실거래가지수를 이용하여 앞의 상태변수 및 공분산을 업데이트하여, 매 주기마다 이러한 알고리즘을 반복하며 예측모형을 보정하였고, 이를 이용해 총 16개의 관측치를 예측하였다.

BMS와 BMA를 적용하여 구한 모델의 예측력을 비교하기 위해 ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average) 모형을 이용하였다. ARIMA 모형은 과거의 관측치와 오차항이 설명변수로 쓰이는 모형으로 비선형적인 시계열 자료를 분석하는데 주로 사용된다. 주택가격예측 연구에서도 모형의 간편함과 정확성 때문에 단기예측에 활용되었으며(Guo, 2012), 다른 예측모형의 비교 대상으로도 많이 쓰이고 있다(Vishwakarma, 2013; Kouwenberg and Zwinkels, 2014; Bork and Moller, 2015). 본 연구에서는 BMS, BMA와 동일하게 서울지역과 부산지역의 2007년 1분기부터 2010년 4분기까지의 데이터를 가지고 ARIMA 모형을 도출하였다.

먼저, 자료의 계절성을 확인하기 위해 다중비교와 분산분석(ANOVA; analysis of variance)을 실시했다. 그 결과 서울 지역의 경우 분기별로 평균과 분산 값의 차이가 미미하였으며, 부산의 경우 1분기에서 4분기로 갈수록 평균과 분산이 높아지고 있는 것으로 드러났다(표 2). 하지만, 통계적으로 분기별 지수의 차이는 유의하지 않는 것(p-value = 0.8773(서울), 0.8322(부산))으로 나타났다(표 3).

그 다음 자료의 정상성을 확인하였다. 정상성은 ARIMA 분석의 기본 조건이며, 평균이 일정하고, 상수인 분산이 존재해야하며, 두 시점사이의 자기 공분산은 시차에만 의존해야 한다는 특징이 있다(송경재 외, 2005). 단위근 검정(Unit root test)을 통해 추세를 추정한 결과, 서울, 부산 지역 모두 추세가 존재함을 확인하였다(p-value=0.7478(서울), 0.9145(부산)). 두 지역 모두 추세를 제거하기 위해 순차적으로 차분(Differencing)을 적용하였다. 서울 지역의 경우, 1차 차분을 통해 정상시계열을 얻을 수 있었으며(그림 2), 부산 지역의 경우 2차 차분을 통해 안정적인 시계열을 얻을 수 있었다(그림 3).

그림 2> . 서울 지역 1차 차분 결과

Download Original Figure

그림 3. 부산 지역 2차 차분 결과

Download Original Figure

마지막으로 ARIMA 모형의 식별을 위해 자기상관계수(ACF; Auto-Correlation Function)와 편자기상관계수(PACF; Partial Auto-Correlation Function)를 이용하였다. <그림 4, 5>에서 보이는 바와 같이 서울, 부산 지역에서 ACF와 PACF는 모두 점차 진폭이 축소되는 사인 곡선의 파동을 나타내고 있으며, 유의미한 시차가 나타나지 않았다. 이는 <표 4>의 결과에서도 알 수 있듯이 두 지역 모두 ARMA(p,q) 모형의 p, q값이 0을 나타내고 있음을 알 수 있다.

그림 4. 서울 지역 ACF와 PACF

Download Original Figure

그림 5. 부산 지역 ACF와 PACF

Download Original Figure

위 결과들을 최종적으로 종합해본 결과 서울지역에서는 ARIMA(0,1,0) 모델이, 부산지역에서는 ARIMA(0,2,0) 모델이 선정되었다.

위에서 구한 ARIMA 모형과 함께 BMS, BMA 모형의 예측력을 비교하기 위해 RMSPE (Root Mean Square Prediction Error) 값과 Average Rank 값을 사용하였다. RMSPE 값은 관측치와 예측치 차이의 표준편차로 모델의 정확성을 비교하는데 쓰였으며, Average Rank 값은 매 예측 시점마다 가장 예측이 우수한 모델에 순위를 매겨 평균한 값으로 이를 통해 예측기간 동안 가장 선호된 모형을 도출하여 비교하였다. 또한 BMS, BMA 모형에 쓰인 적정 변수의 개수를 계산함으로써 도출된 모델을 평가하는데 객관적인 자료로 활용하였다.

서울지역에서는 평균적으로 사후모델에 약 6.3506개의 변수가 사용되었을 때 확률이 가장 높은 것으로 나타났다(그림 6). Occam’s Window를 만족하는 사후모델로는 C값이 10인 경우, 총 5개가 선정되었으며, C값이 20, 30인 경우에 총 7개의 동일한 모델이 선정되었다. 그 중 지가변동률(서울), 소비자물가지수, 시장금리, 주택담보대출금리, CD금리를 변수로 사용하는 모델 400이 5.64%의 확률로 최상의 예측 모델로 뽑혔다(표 5). 그 외에 다른 상위 모델에서는 지가변동률(서울), 소비자물가지수, 시장금리, 주택담보대출금리, GDP(명목), GDP(실질)들의 조합이 포함되어 있는데, 특히 서울시의 경우 아파트 실거래가지수 예측에서 수요변수들이 중요한 역할을 차지하고 있음을 확인할 수 있다.

그림 6. 서울 지역 모델 분석 결과

Download Original Figure

이를 이용해 2011년 1분기부터 2014년 4분기까지 서울시의 아파트 실거래가지수를 표본 외 예측(Out-of-sample prediction)한 결과를 <그림 7>과 같이 그래프로 나타내었다. 기본적으로 분석 기간 내 서울지역의 아파트 실거래가지수를 살펴보면, 2006년과 2013년 사이에 지수 값의 변동 폭이 비교적 큰 것을 확인 할 수 있다. 특히 2008년 3분기부터 2010년 4분기 사이에 등락이 심한 것을 볼 수 있는데 이는 2008년부터 시작된 미국 발 서브프라임 모기지 사태에 의한 효과로서, 우리나라의 경제침체와 국민들의 소비심리 위축에 영향을 줘 부동산 시장에도 악영향을 끼친 것으로 보인다. 이러한 현상은 앞서 수요 변수들이 주요 모델들의 변수로 사용되었다는 본 연구의 결과와 부합한다고 볼 수 있다. BMS, BMA와 더불어 ARIMA(0,1,0) 간의 예측력을 RMSE (Root Mean Square Error)값으로 비교해본 결과, BMS와 BMA는 각각 0.747, 0.967 (0.937)로 2.021의 값을 보인 ARIMA(0,1,0)보다 적은 오차 범위로 예측하였으며, 그 중에서는 BMS가 가장 우수한 예측력을 보이는 것으로 나타났다(표 6). 또한 Average Rank값으로 세 모델의 예측력을 비교해본 결과, BMS가 1.3의 값으로 전 구간에 걸쳐 가장 선호된 모델로 선정되었다. 이러한 결과는 최적의 변수 개수가 6.3506개라는 앞의 결과에 근거하여 변수의 개수가 5개인 BMS가 8개 변수를 고려하고 있는 BMA보다 적합한 모델임을 알 수 있었다.

그림 7. 서울 지역 아파트실거래가 지수 표본 외 예측 결과

Download Original Figure

부산지역의 경우 상대적으로 서울보다 적은 2.9169개의 변수들로 이루어진 모델들의 사후 확률이 가장 높은 것으로 나타났다(그림 8). C값이 20, 30인 경우에는 총 2개의 모델들이 Occam’s Window를 만족하는 것으로 나타났으며, 그 중 GDP(명목)을 사용하는 모델 10이 최상의 예측 모델로 선정되었다(표 7). 그 외의 모델 448에서는 지가변동률(부산), 시장금리, GDP(실질)이 포함되었다. C값이 10인 경우에는 모델 10 하나만 Occam’s Window를 만족한 것으로 나타났다.

그림 8. 부산 지역 모델 분석 결과

Download Original Figure

마찬가지로 위 모델들을 이용해 부산시의 아파트 실거래가격지수를 표본 외 예측한 결과를 <그림 9>에 나타내었다. 부산의 경우, 동일기간 내 아파트 실거래가지수의 변동이 서울에 비해 심하지 않고 꾸준히 상승함을 확인할 수 있는데, 예측 결과 역시 서울의 결과보다 실제값을 보다 잘 예측함을 보였다. 각각의 예측력 비교를 위해 RMSE를 비교한 결과, 서울과 달리 BMA는 2.054(2.051), BMS는 2.054, ARIMA(0,2,0)는 2.350 순으로 BMA의 예측력이 가장 뛰어난 것으로 나타났다. Average Rank값을 통해서는 ARIMA(0,2,0)이 1.4(1.8)의 값으로 전 구간에 걸쳐 예측력이 우수한 것으로 나타났다(표 8). 부산지역에서도 동일하게 적정변수가 2.9161개라는 사실에 근거하여 4개의 변수로 구성된 BMA가 1개의 변수로만 구성된 BMS보다 더 적합한 모델임을 확인할 수 있었다.

그림 9. 부산 지역 아파트실거래가 지수 표본 외 예측 결과

Download Original Figure